Wie funktioniert der doppelte dreisatz

Genau wie beim einfachen Dreisatz kannst du mit ihm Aufgaben über das Verhältnis verschiedener Größen lösen.

In der letzten Zeile der Tabelle notierst du alles, was du bereits über das Verhältnis weißt, das du berechnen möchtest. Diese Geteiltzahl nennt man auch den Divisior.

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Jetzt rechnest du wieder einen einfachen Dreisatz mit den verbliebenen zwei Größen „Anzahl der Tortenstücke“ und „Benötigte Zeit“.

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Gegeben: 2 Wasserpumpen fördern in 24 Stunden 4800 Liter Wasser.

Gesucht: Wie viel Liter fördern 5 Pumpen in 10 Stunden?

Antwort: 5 Pumpen fördern in 10 Stunden 5000 Liter. Diesen Aufgabentyp bezeichnet man als doppelten Dreisatz oder auch Kettensatz. Hier trägst du also die 6 Personen und die 7 Tortenstücke ein.

Pro Tag schaffen sie also $\frac{1}{24}$ der Gesamtarbeit.
Logisch betrachtet muss es sich bei dem ersten Dreisatz um einen proportionalen Zusammenhang handeln, denn doppelt so viele Maurer bedeuten auch doppelt so viel fertiggestellteArbeit.
Die erste Zuordnung, die wir betrachten, also der erste Dreisatz, ist:
$10 \;Maurer ~~\widehat{=} ~~\frac{1}{24}\; Gesamtarbeit\;\;\;\;\;|:10$
$1 \;Maurer~~\widehat{=} ~~\frac{1}{24 \cdot 10} \;Gesamtarbeit\;\;\;|\cdot 9$
$9 \; Maurer~~\widehat{=} ~~\frac{9}{24 \cdot 10}\;Gesamtarbeit$
Wir könnten den Bruch kürzen, würden dann aber nicht erkennen, ob das Resultat später größer oder kleiner als $\frac{1}{24}$ ist.
Im ersten Dreisatz haben wir errechnet, wie viel Arbeit neun Maurer an einem Tag leisten, wenn sie 8 Stunden arbeiten.

Im Beispiel: brauchen doppelt so viele Maurer auch doppelt so viele Tage?

Das größte Problem beim Lösen eines doppelten Dreisatzes ist es, dass der Kopf gleichzeitig sehr viele Dingen verarbeiten muss. Beginnen wir zum Beispiel mit der Anzahl der Personen.

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Basiswissen

Doppelter Dreisatz

Lösungsbeispiel

Basiswissen｜ Lösungsidee: analytisch vorgehen｜ Schritt 1: Hauptworte benennen｜ Schritt 2: erste Zeile, Tabelle mit Überschrift｜ Schritt 3: zweite Zeile, Gegebenes ergänzen｜ Schritt 4: sechste Zeile, Gesuchtes ergänzen｜ Schritt 5: erste Spalte, Einsen eintragen｜ Schritt 6: erste Spaltez, fünfte Zeile, fehlende Suchangabe｜ Schritt 7: Divisor für die dritte Zeile festlegen｜ Schritt 8: dritte Zeile mitte und rechts｜ Schritt 9: vierte Zeile mitte und rechts｜ Schritt 10: fünfte Zeile ganz links｜ Schritt 11: sechste und damit die letzte Zeile｜ Schritt 12: Probe und Antwortsatz｜ Maurer-Beispiel｜ Hühnereier-Beispiel｜ Parkettleger-Beispiel｜ Arbeitskosten-Beispiel｜ Zeitungsjungen-Beispiel｜ Förderband-Beispiel｜ Wasserpumpen-Beispiel｜ Wasserhahn-Beispiel

4 Maurer machen in 3 Tagen 5 Meter Mauer.

Diese Divisormethode funktioniert übrigens auch, wenn die Zahl ganz links in der zweiten Zeile kleiner ist als 1.

Wir sind noch immer in der dritten Zeile: nun fragt man sich: was passiert mit der Zahl ganz rechts in der dritten Zeile, wenn man links durch den Divisor teilt? Deshalb muss man ganz rechts die Gegenrechnung von ganz links durchführen, also mit 4 malrechnen.

Diese Tabelle hat nun 3 Spalten und 5 Zeilen. Das heißt, dass man hier eine proportionale Beziehung hat. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

Zusammengesetzter Dreisatz

Dieser Artikel behandelt den zusammengesetzten Dreisatz.

Im Beispiel sind das die Zahlen 4 und die Zahl 1. Muss man ganz rechts auch durch den Divisor teilen oder mit ihm malrechnen? Da sich zwei Größen in dem betrachteten Verhältnis verändern, müssen wir auch zwei Dreisätze rechnen, um die Aufgabe zu lösen.

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Sehr gut!

Im Beispiel ganz links unten steht dann die Zahl 6 und im Feld ganz unten in der Mitte die Zahl 20.

Nun sind noch drei Zeilen der Tabelle ganz frei: die dritte, die vierte und die fünfte Zeile. Man fragt jetzt: wenn sich die Mauermeter verdoppeln, verdoppelt sich dann auch die Anzahl der Tage dafür? Man schreibt das als Hauptworte auf.

Jede Spalte steht für eine der Größen, jede Zeile für einen Rechenschritt. Im Beispiel: 4 Maurer machen in 3 Tagen 5 Meter Mauer. Die Anzahl der Personen kannst du also einfach abschreiben und musst sie nicht weiter beachten.
Dafür musst du in beiden Spalten durch die Anzahl der Tortenstücke teilen. ✓

Gegeben: 2 tropfende Wasserhähne verlieren in 24 Stunden insgesamt 8 Liter Trinkwasser.

Gesucht: Wie viele Stunden dauert es, bis 1 Liter Wasser durch 4 tropfende Wasserhähne verloren sind?

Antwort: 4 Wasserhähne benötigen 1,5 Stunden um einen Liter Wasser zu verlieren.

1 Person braucht also 300 Minuten für 9 Tortenstücke. Damit erhält man ganz rechts die Zahl 8. Ganz rechts rechnet man also 2,4 durch 6, das gibt 0,4. Wie viele Eier legen dann Hühner in Tagen? Jetzt nimmt man wieder die Hauptwörter aus der Überschrift, und zwar das ganz links und das ganz rechts und fragt: gibt die doppelte Anzahl Maurer auch die doppelte Anzahl an nötigen Tagen?

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Perfekt! Der zweite Dreisatz befasst sich mit der täglichen Arbeitszeit. Folglich kannst du einen ganz normalen einfachen Dreisatz mit diesen beiden Größen rechnen. Die Lösungsidee besteht dann darin, aus die Lösung in viele kleine übersichtliche Schritte aufzuspalten.

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