Widerstände in reihe berechnen

Widerstandsrechner für Reihen- und Parallelschaltung

Bei komplexen Schaltungen müssen Widerstände kombiniert werden.

3× 100Ω in Reihe = 300Ω. Mehr Hindernisse = höherer Gesamtwiderstand. Gleiches gilt auch für unsere Ladungsträger in der Parallelschaltung: Der Gesamtwiderstand wird also kleiner, je mehr Widerstände parallel sind!

Auch hier gilt natürlich die Formel . Das wäre die Parallelschaltung.

Der Strom und die Spannung verhält sich nun je nach Bauteil und Lage der anderen Teile unterschiedlich.

+ R_n\]

Summenformel mit Summenzeichen: \[\displaystyle R_{ges} = \sum_{i=1}^n R_i\]

Gesamtstrom (Ohmsches Gesetz): \[\displaystyle I_{ges} = \frac{U_{ges}}{R_{ges}}\]

Spannungsaufteilung

Spannung am i-ten Widerstand: \[\displaystyle U_i = U_{ges} \times \frac{R_i}{R_{ges}}\]

Spannungsteiler-Verhältnis:
Für zwei Widerstände in Reihe: \[\displaystyle \frac{U_2}{U_1} = \frac{R_2}{R_1}\]

Legende:

• \(R_{ges}\) - Gesamtwiderstand der Reihenschaltung (Ω)
• \(R_1, R_2, ..., R_n\) - Einzelwiderstände (Ω)
• \(U_{ges}\) - Gesamtspannung (V)
• \(U_i\) - Spannung am i-ten Widerstand (V)
• \(I_{ges}\) - Strom durch alle Widerstände (A)
• \(n\) - Anzahl der Serienwiderstände

Rechenbeispiel 1: Vier verschiedene Widerstände

Widerstände: 30Ω, 60Ω, 20Ω, 90Ω in Reihe: \[R_{ges} = 30\Omega + 60\Omega + 20\Omega + 90\Omega = 200\Omega\] Bei 12V Gesamtspannung: \[I = \frac{12V}{200\Omega} = 0.06A = 60mA\] Spannungen an den Widerständen: \[U_{30\Omega} = 60mA \times 30\Omega = 1.8V\] \[U_{60\Omega} = 60mA \times 60\Omega = 3.6V\] \[U_{20\Omega} = 60mA \times 20\Omega = 1.2V\] \[U_{90\Omega} = 60mA \times 90\Omega = 5.4V\] Kontrolle: 1.8V + 3.6V + 1.2V + 5.4V = 12V ✓

Rechenbeispiel 2: Spannungsteiler-Design

Aufgabe: 9V auf 3.3V teilen mit zwei Widerständen: \[\frac{U_{aus}}{U_{ein}} = \frac{3.3V}{9V} = 0.367 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\] Gewählt: R₁ = 1kΩ, dann: \[0.367 = \frac{R_2}{1000\Omega + R_2}\] \[367 + 0.367 \times R_2 = R_2\] \[367 = 0.633 \times R_2\] \[R_2 = \frac{367}{0.633} = 580\Omega\] Nächster E-Wert: 560Ω \[U_{aus} = 9V \times \frac{560\Omega}{1000\Omega + 560\Omega} = 3.23V\] (Abweichung: 2.1%)

Erweiterte Berechnungen

Leistungsverteilung in Reihenschaltung:
Leistung im i-ten Widerstand: \[\displaystyle P_i = I^2 \times R_i = \frac{U_i^2}{R_i}\] Gesamtleistung: \[\displaystyle P_{ges} = \sum_{i=1}^n P_i = I^2 \times R_{ges}\]

Verhältnis-Berechnung:
Wenn Widerstand R_x gesucht wird für Spannungsverhältnis k: \[\displaystyle R_x = R_{bekannt} \times \frac{k}{1-k}\]

Praktische Dimensionierungsregeln

Spannungsteiler-Design:

• Querstrom wählen: 10-100× größer als Laststrom
• Gesamtwiderstand: R_ges = U_ein / I_quer
• Teilerverhältnis: R₂ = R_ges × (U_aus/U_ein)

Vorwiderstand für LEDs: \[\displaystyle R_{vor} = \frac{U_{versorgung} - U_{LED}}{I_{LED}}\] Für mehrere LEDs in Reihe: U_LED = n × U_{LED_einzel}

Toleranz- und Temperatureffekte

Toleranz-Fortpflanzung:
Bei N Widerständen mit ±5% Toleranz: \[\Delta R_{ges} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (\Delta R_i)^2}\] Worst-Case: Alle Toleranzen addieren sich

Temperaturkoeffizient:
Widerstandsänderung bei Temperaturänderung: \[R(T) = R_0 \times (1 + \alpha \times \Delta T)\] wobei α der Temperaturkoeffizient ist (typisch ±100ppm/°C)

Messschaltungen mit Reihenwiderständen

Voltmeter-Messbereichserweiterung: \[\displaystyle R_{vor} = R_{Messwerk} \times (n - 1)\] wobei n der Erweiterungsfaktor ist

Strommessung über Spannungsabfall: \[\displaystyle R_{mess} = \frac{U_{max}}{I_{max}}\] Präzisions-Messwiderstände für genaue Strommessung

Optimierung und E-Reihen

E-Reihen-Kombination für Zielwerte:

• E12-Reihe: 1.0, 1.2, 1.5, 1.8, 2.2, 2.7, 3.3, 3.9, 4.7, 5.6, 6.8, 8.2
• Beispiel: 3.7kΩ gewünscht → 1.2kΩ + 2.5kΩ = 3.7kΩ (E-Werte: 1.2kΩ + 2.7kΩ = 3.9kΩ)
• Trimming: Großer Festwiderstand + kleiner Trimmer

Fehlervermeidung und Troubleshooting

Häufige Fehler:

• Parallelschaltungs-Formel verwendet: 1/R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ (falsch!)
• Spannungsaufteilung ignoriert: Nicht alle Widerstände bekommen gleiche Spannung
• Leistung unterschätzt: Große Widerstände können hohe Leistung haben

Troubleshooting:

• Einzelmessung: Jeden Widerstand separat messen
• Spannungsprüfung: Spannungsverteilung kontrollieren
• Thermische Prüfung: Überhitzung einzelner Widerstände

Hochfrequenz-Betrachtungen

Parasitäre Effekte:
Bei hohen Frequenzen werden zusätzlich wichtig:

• Induktivität: Drahtwiderstände wirken als Spulen
• Kapazität: Zwischen Widerständen und zur Masse
• Skin-Effekt: Widerstand steigt mit Frequenz

Die Reihenschaltung von Widerständen ist eine der fundamentalsten Schaltungen in der Elektrotechnik.